Билет №4
1. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.
2. Построение угла равного данному.
3. Задача по теме «Признаки параллельности прямых».
Один из внутренних накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равен 50°. Найдите градусные меры остальных углов.
1. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.
2. Построение угла равного данному.
3. Задача по теме «Признаки параллельности прямых».
Один из внутренних накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равен 50°. Найдите градусные меры остальных углов.
1) Глава 4 «Соотношение между сторонами и углами треугольника». Параграф 4 «Построение треугольника по трём элементам». Пункт 38 «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми». Страница 81-83.
Теорема: расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой.
Доказательство:
1. На рисунке изображена прямая α, отрезок AB и точка F – любая точка прямой α, отличная от B. Отрезок AF называют наклонной, проведённой из точки A к прямой α.
2. Отрезок BF – проекция наклонной. В прямоугольном треугольнике ABF катет AB меньше гипотенузы AF.
3. Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.
Важнейшее свойство параллельных прямых.
Теорема: все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Доказательство:
1. Рассмотрим параллельные прямые α и b.
2. Отметим на прямой α точку W проведём из этой точки перпендикуляр WR к прямой b.
3. Докажем, что расстояние от любой точки C прямой α до прямой b равно WR.
4. Проведём из точки Cперпендикуляр CK к прямой b. Так как CK ⊥ b, то CK ⊥ α. Прямоугольные треугольники WRK и KCW равны по гипотенузе и острому углу (WK – общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых α и b секущей WK). Следовательно, CK = WR.
5. Итак, любая точка C прямой α находится на расстоянии WR от прямой b. Очевидно, все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой α. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, всё время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.
Теорема: расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой.
Доказательство:
1. На рисунке изображена прямая α, отрезок AB и точка F – любая точка прямой α, отличная от B. Отрезок AF называют наклонной, проведённой из точки A к прямой α.
2. Отрезок BF – проекция наклонной. В прямоугольном треугольнике ABF катет AB меньше гипотенузы AF.
3. Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.
Важнейшее свойство параллельных прямых.
Теорема: все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Доказательство:
1. Рассмотрим параллельные прямые α и b.
2. Отметим на прямой α точку W проведём из этой точки перпендикуляр WR к прямой b.
3. Докажем, что расстояние от любой точки C прямой α до прямой b равно WR.
4. Проведём из точки Cперпендикуляр CK к прямой b. Так как CK ⊥ b, то CK ⊥ α. Прямоугольные треугольники WRK и KCW равны по гипотенузе и острому углу (WK – общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых α и b секущей WK). Следовательно, CK = WR.
5. Итак, любая точка C прямой α находится на расстоянии WR от прямой b. Очевидно, все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой α. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, всё время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.
2) Глава 2 «Треугольники». Параграф 4 «Задачи на построение». Пункт 23 «Примеры задач на построение». Страница 44-45.
1. Построим угол ABC с вершиной B, а также луч ZY.
2. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине B данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках E и F.
3. Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ZW. Она пересекает луч в точке Y.
4. После этого построим окружность с центром Y, радиус которой равен EF. Окружности с центрами Z и W пересекаются в двух точках.
5. Одну из этих точек обозначим буквой X.
6. Докажем, что угол WZX – искомый.
7. Рассмотрим треугольники BEF и ZYX. Отрезки BE и BF являются радиусами окружности с центром B, а отрезки ZY и ZX – радиусами окружности с центром Z. Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то BE = ZY, BF = ZX. Также по построению EF = YX.
8. Следовательно, ΔBEF = ΔZYX по трём сторонам. Поэтому ∠YZX = ∠EBF, т.е. построенный угол WZX равен данному углу ABC.
1. Построим угол ABC с вершиной B, а также луч ZY.
2. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине B данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках E и F.
3. Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ZW. Она пересекает луч в точке Y.
4. После этого построим окружность с центром Y, радиус которой равен EF. Окружности с центрами Z и W пересекаются в двух точках.
5. Одну из этих точек обозначим буквой X.
6. Докажем, что угол WZX – искомый.
7. Рассмотрим треугольники BEF и ZYX. Отрезки BE и BF являются радиусами окружности с центром B, а отрезки ZY и ZX – радиусами окружности с центром Z. Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то BE = ZY, BF = ZX. Также по построению EF = YX.
8. Следовательно, ΔBEF = ΔZYX по трём сторонам. Поэтому ∠YZX = ∠EBF, т.е. построенный угол WZX равен данному углу ABC.
3) Задача: Один из внутренних накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равен 50°. Найдите градусные меры остальных углов.
Дано: ∠1=50°.
Найти: Остальные углы.
1) ∠1=∠2=50°-вертикальные углы.
2) 180°-∠2=∠3-смежные углы.
180°-50°=130°
3) ∠3=∠4=130°-вертикальные углы.
4) ∠1=∠8=50° (св-во накрест лежащих углов)
5) ∠4=∠5=130° (св-во накрест лежащих углов)
6) ∠5=∠6=130°-вертикальные углы
7) ∠8=∠7=50°-вертикальные углы
Дано: ∠1=50°.
Найти: Остальные углы.
1) ∠1=∠2=50°-вертикальные углы.
2) 180°-∠2=∠3-смежные углы.
180°-50°=130°
3) ∠3=∠4=130°-вертикальные углы.
4) ∠1=∠8=50° (св-во накрест лежащих углов)
5) ∠4=∠5=130° (св-во накрест лежащих углов)
6) ∠5=∠6=130°-вертикальные углы
7) ∠8=∠7=50°-вертикальные углы
