Билет №5
1) Глава 1 «Начальные геометрические сведения» параграф 1 «Точки, прямые, отрезки» страница 5-7
Параллельные прямые: Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько
бы их ни продолжали.
Параллельные отрезки: Отрезки, лежащие на параллельных прямых.
* Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести только одну прямую, параллельную данной.
Параллельные прямые: Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько
бы их ни продолжали.
Параллельные отрезки: Отрезки, лежащие на параллельных прямых.
* Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести только одну прямую, параллельную данной.
2) Глава 2 «Треугольники». Параграф 1 и 3 «Первый признак равенства треугольников»;
«Второй признак равенства треугольников»; «Третий признак равенства треугольников».
Страницы 28-30; 37-38; 38-40
Первый признак: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
1. Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁,
где:
AB = A₁B₁ (равные стороны);
AC = A₁C₁ (равные стороны);
∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (равные углы).
2. Наложим ΔABC на ΔA₁B₁C₁ так, чтобы:
Вершина A совпала с вершиной A₁.
Сторона AB совпала со стороной A₁B₁.
Сторона AC совпала со стороной A₁C₁.
3.Поскольку ∠BAC = ∠B₁A₁C₁, сторона BC совпадёт со стороной B₁C₁.
4.Таким образом, треугольники полностью совмещаются, что означает их равенство.
Второй признак: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
1. Рассмотрим ABC и A₁B₁C₁.
2. Наложим их друг на друга так, чтобы совместились: вершины A и A₁ и равные стороны AB
и A₁B₁. При этом вершины C и C₁ должны быть по одну сторону от прямой A₁B₁.
3. Поскольку A = A₁ и B = B₁, то сторона AC наложится на
луч A₁C₁, а сторона BC — на луч B₁C₁.
4. Поэтому общая точка сторон AC и BC, вершина C, окажется лежащей как на луче A₁C₁, так и на луче B₁C₁ и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей — вершиной C₁.
5. Значит, совместятся стороны AC и A₁C₁, BC и B₁C₁.
6.Таким образом, ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся, поэтому они равны, что и требовалось доказать.
Третий признак: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
1.Рассмотрим два треугольника АВС и А₁В₁С₁, у которых все соответствующие стороны равны: АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁.
2.Приложим треугольник АВС к треугольнику А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, вершина В — с вершиной В₁, а вершины С и С₁ находились по разные стороны от прямой А₁В₁.
3.Треугольник В₁С₁С — равнобедренный с основанием С₁С, так как ВС = В₁С₁ по условию теоремы. Угол В₁С₁С = углу В₁СС₁ как углы при основании равнобедренного треугольника.
4.Треугольник А₁С₁С — равнобедренный с основанием С₁С, так как АС = А₁С₁ по условию теоремы. Угол А₁С₁С = углу А₁СС₁, как углы при основании равнобедренного треугольника.
5.Угол В₁С₁А₁ = углу ВСА, как разность равных углов.
6.Тогда треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам (ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁) и углу между ними (угол ВСА = углу В₁С₁А₁).
«Второй признак равенства треугольников»; «Третий признак равенства треугольников».
Страницы 28-30; 37-38; 38-40
Первый признак: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
1. Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁,
где:
AB = A₁B₁ (равные стороны);
AC = A₁C₁ (равные стороны);
∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (равные углы).
2. Наложим ΔABC на ΔA₁B₁C₁ так, чтобы:
Вершина A совпала с вершиной A₁.
Сторона AB совпала со стороной A₁B₁.
Сторона AC совпала со стороной A₁C₁.
3.Поскольку ∠BAC = ∠B₁A₁C₁, сторона BC совпадёт со стороной B₁C₁.
4.Таким образом, треугольники полностью совмещаются, что означает их равенство.
Второй признак: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
1. Рассмотрим ABC и A₁B₁C₁.
2. Наложим их друг на друга так, чтобы совместились: вершины A и A₁ и равные стороны AB
и A₁B₁. При этом вершины C и C₁ должны быть по одну сторону от прямой A₁B₁.
3. Поскольку A = A₁ и B = B₁, то сторона AC наложится на
луч A₁C₁, а сторона BC — на луч B₁C₁.
4. Поэтому общая точка сторон AC и BC, вершина C, окажется лежащей как на луче A₁C₁, так и на луче B₁C₁ и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей — вершиной C₁.
5. Значит, совместятся стороны AC и A₁C₁, BC и B₁C₁.
6.Таким образом, ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся, поэтому они равны, что и требовалось доказать.
Третий признак: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
1.Рассмотрим два треугольника АВС и А₁В₁С₁, у которых все соответствующие стороны равны: АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁.
2.Приложим треугольник АВС к треугольнику А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, вершина В — с вершиной В₁, а вершины С и С₁ находились по разные стороны от прямой А₁В₁.
3.Треугольник В₁С₁С — равнобедренный с основанием С₁С, так как ВС = В₁С₁ по условию теоремы. Угол В₁С₁С = углу В₁СС₁ как углы при основании равнобедренного треугольника.
4.Треугольник А₁С₁С — равнобедренный с основанием С₁С, так как АС = А₁С₁ по условию теоремы. Угол А₁С₁С = углу А₁СС₁, как углы при основании равнобедренного треугольника.
5.Угол В₁С₁А₁ = углу ВСА, как разность равных углов.
6.Тогда треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам (ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁) и углу между ними (угол ВСА = углу В₁С₁А₁).
3) Задача по теме «Соотношение между сторонами и углами треугольника»
В треугольнике ABC AB=4см, AC=6см, BC=5см. Какой угол треугольника наименьший, а какой наибольший.
Дано: △АBC
AB=4см
AC=6см
BC=5см
Найти: наименьший ∠,
наибольший ∠
Решение: Угол B будет наибольшим так как он лежит на против самой большой стороны AC. Угол С будет самым наименьшим так как он лежит на против наименьшей стороны AB.
В треугольнике ABC AB=4см, AC=6см, BC=5см. Какой угол треугольника наименьший, а какой наибольший.
Дано: △АBC
AB=4см
AC=6см
BC=5см
Найти: наименьший ∠,
наибольший ∠
Решение: Угол B будет наибольшим так как он лежит на против самой большой стороны AC. Угол С будет самым наименьшим так как он лежит на против наименьшей стороны AB.
