Билет №6
1) Глава 1 «Начальные геометрические сведения» с. 7-9.
Луч - часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой (началом луча), а с другой стороны не ограниченная.
Проведём прямую AB и отметим на ней точку O. Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки O. Точка O называется началом каждого из лучей.
Обычно луч называют либо малой латинской буквой, либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых – начало луча, а вторая – какую-либо точку на луче
Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.
Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол не развернутый, то одна часть называется внутренней, а другая – внешней областью этого угла. Если угол развернутый, то любую из двух частей на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла.
На рисунке изображён угол неразвернутый угол. Точка M лежит внутри этого угла (то есть во внутренней области угла), точки N и O на сторонах угла, а точка P – вне угла (то-есть во внешней области угла).
Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла. На рисунке луч OLделит угол KOM на два угла: KOL и LOM. Если угол KOM развёрнутый, то любой луч OL, несовпадающий в лучами OK и OM, делит этот угол на два угла: KOL и LOM.
Виды углов:
1). Острый угол: Меньше 90 градусов.
2). Прямой угол: Равен 90 градусов.
3). Тупой угол: Больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.
4). Развернутый угол: Равен 180 градусов.
Луч - часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой (началом луча), а с другой стороны не ограниченная.
Проведём прямую AB и отметим на ней точку O. Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки O. Точка O называется началом каждого из лучей.
Обычно луч называют либо малой латинской буквой, либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых – начало луча, а вторая – какую-либо точку на луче
Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.
Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол не развернутый, то одна часть называется внутренней, а другая – внешней областью этого угла. Если угол развернутый, то любую из двух частей на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла.
На рисунке изображён угол неразвернутый угол. Точка M лежит внутри этого угла (то есть во внутренней области угла), точки N и O на сторонах угла, а точка P – вне угла (то-есть во внешней области угла).
Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла. На рисунке луч OLделит угол KOM на два угла: KOL и LOM. Если угол KOM развёрнутый, то любой луч OL, несовпадающий в лучами OK и OM, делит этот угол на два угла: KOL и LOM.
Виды углов:
1). Острый угол: Меньше 90 градусов.
2). Прямой угол: Равен 90 градусов.
3). Тупой угол: Больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.
4). Развернутый угол: Равен 180 градусов.
2) Глава 2. «Треугольники» 18. Свойства равнобедренного треугольника
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Дано: DABC – равнобедренный
AB=AC
Доказать: ∠B=∠C
Доказательство:
1. Пусть AD – биссектриса DABC
2. ΔABD=ΔACD по первому признаку равенства треугольников (AB=AC по условию, AD – общая, ∠1=∠2, т.к. AD – биссектриса)
3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠B=∠C
Теорема: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой
Дано: DABC – равнобедренный
AB=AC
Доказать: AD – медиана и высота
Доказательство:
ABC – равнобедренный треугольник с основанием BC, AD – его биссектриса.
Из равенства треугольников ABD и ACD следует,
BD=DC и
∠ADB=∠ADC.
Равенство BD=DC означает, что точка D – середина стороны BC и поэтому AD – медиана треугольника ABC. Так как углы ADB и ADC смежные и равны друг-другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника ABC
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Дано: DABC – равнобедренный
AB=AC
Доказать: ∠B=∠C
Доказательство:
1. Пусть AD – биссектриса DABC
2. ΔABD=ΔACD по первому признаку равенства треугольников (AB=AC по условию, AD – общая, ∠1=∠2, т.к. AD – биссектриса)
3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠B=∠C
Теорема: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой
Дано: DABC – равнобедренный
AB=AC
Доказать: AD – медиана и высота
Доказательство:
ABC – равнобедренный треугольник с основанием BC, AD – его биссектриса.
Из равенства треугольников ABD и ACD следует,
BD=DC и
∠ADB=∠ADC.
Равенство BD=DC означает, что точка D – середина стороны BC и поэтому AD – медиана треугольника ABC. Так как углы ADB и ADC смежные и равны друг-другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника ABC
3) Задача: В треугольнике ABC даны два угла: ∠A=32°, ∠B=57°. Найдите третий угол.
Дано:
ABC=D
∠A=32°
∠B=57°
Найти: ∠C
Решение:
Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть ∠A = 32°, ∠B = 57°. Тогда угол C можно найти так:
∠C=180° -∠A-∠B
∠C=180°-32°-57°=91°
Ответ: Третий угол равен 91°.
Дано:
ABC=D
∠A=32°
∠B=57°
Найти: ∠C
Решение:
Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть ∠A = 32°, ∠B = 57°. Тогда угол C можно найти так:
∠C=180° -∠A-∠B
∠C=180°-32°-57°=91°
Ответ: Третий угол равен 91°.
