1) Глава 2 “Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей”. Параграф 1 . Страница 29-30.
Соответственные углы: Углы, которые занимают одинаковое положение относительно прямых и секущей.
Соответственные углы:
∠2 и ∠6, ∠3 и ∠7, ∠1 и ∠5,∠4 и ∠8
Соответственные углы равны.

 Накрест лежащие углы: Углы, которые лежат по разные стороны от секущей и между двумя прямыми.
 Накрест лежащие углы:
∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6
Накрест лежащие углы равны.

Односторонние углы: Углы, которые лежат по одну сторону от секущей и между двумя прямыми.
Односторонние углы:
∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5
Сумма односторонних углов равна 180̊.

Теорема:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Доказательство
Пусть a∥b, AB - секущая. Надо доказать, что ∠1=∠2, где ∠1 и ∠2 - накрест лежащие (рис. 3).
Предположим, что ∠1≠∠2. Отложим от луча AB угол BAK равный ∠2 так, чтобы ∠BAK и ∠2 были накрест лежащими при пересечении прямых AK и b секущей AB.
∠BAK=∠2 - по построению, значит, по признаку параллельности прямых, AK∥b.
Получили, что через точку A проходят две прямые (a и AK), параллельные прямой b.
Это противоречит аксиоме параллельных прямых.
Предположение неверно, значит, ∠1=∠2.
Теорема доказана.

Теорема:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Доказательство:
Пусть a∥b, c - секущая. Надо доказать, что ∠1=∠2, где ∠1 и ∠2 - соответственные (рис. 5).
Если a∥b, то, по свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны, например, ∠1=∠3. ∠2=∠3 как вертикальные.
Значит, ∠1=∠2.
Теорема доказана.

Теорема:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Доказательство:
Пусть a∥b, c - секущая. Надо доказать, что ∠1+∠2=180°, где ∠1 и ∠2 - односторонние (рис. 6).
Если a∥b, то, по свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны, например, ∠1=∠3. ∠2 и ∠3 - смежные, тогда по свойству смежных углов ∠2+∠3=180°.
Значит, ∠1+∠2=180°.
Теорема доказана.

2) Глава 4 “Определение треугольника” “Теорема о сумме углов треугольника”. Параграф 1.Страница 70-71.
Определение треугольника: Треугольник - это многоугольник: с тремя сторонами и тремя вершинами.
Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов любого треугольника равна 180° .
Доказательство:
Рассмотрим произвольный треугольник и докажем, что 
Проведем через вершину с прямую а, параллельную стороне АB .Углы 1и4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АB секущей AC, а углы 3 и 5 -накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей CB . Поэтому ∠4= ∠1 < ∠5= ∠3.
Очевидно, сумма углов 4,2 и 5 равна развернутому углу с вершиной  C , т.е. ∠4+ ∠2+ ∠5=180⁰.
Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: ∠1+∠2+∠3=180 градусов, или ∠A+ ∠C+ ∠B=180⁰. Теорема доказана.

3) Задача. Глава 4 “Неравенства треугольника” “Существует ли треугольник со сторонами 7см, 2см, и 10см?” Параграф 1. Страница 74-75-76.
Нет, треугольник со сторонами 7 см, 2 см и 10 см не существует, так как сумма двух коротких сторон (7 см+2 см = 9 см) меньше третьей стороны (10 см), что нарушает основное свойство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.
Правила для построения треугольника:
Для того чтобы треугольник существовал, необходимо выполнение трех условий:
 а+b> c,
a+c> b,
 b+c >a.
Где а, b и с -длины сторон треугольника.     
Проверка для заданных сторон:
1.7см+2см=9см. 9см не больше чем 10см.
2. 7см+10см=17см. 17см больше 2см.
3. 2см+10см=12см. 12см больше 7 см.
Поскольку первое условие не выполняется (9см<10см), такой треугольник построить невозможно.